Ciencia y Melancolía: el límite de Roche


En el comienzo de la última película de Lars von Trier, titulada Melancolía, expone las reacciones de sus personajes ante la llegada a la Tierra de un planeta de fuera del Sistema Solar llamado Melancolía. En la película el planeta describe una órbita de impacto hacia nuestro planeta, y es justo al inicio de la cinta cuando podemos verlo (no estamos por tanto descubriendo nada que no se vea desde el principio).

En la imagen inferior tienen una captura de ese momento. El planeta de la izquierda es la Tierra, y el de la derecha es Melancolía; ambos están chocando:

La película no tiene la más mínima intencionalidad científica. Ni siquiera llega a pertenecer al cine de catástrofes: es más bien una exploración acerca de la reacción de los seres humanos ante la muerte y el desastre. En todo caso, resulta interesante puntualizar que, en mi humilde opinión, la escena mostrada arriba es astronómicamente dudosa.

El límite de Roche.

Lo cierto es que antes de tener lugar el impacto descrito al comienzo de la película la Tierra habría superado el límite de Roche del planeta Melancolía, un cuerpo notablemente más grande que nuestra Tierra.

El límite de Roche es, según se lee en Wikipedia, ‘la distancia mínima que puede soportar un objeto, que mantiene su estructura únicamente por su propia gravedad y que orbita un cuerpo masivo, sin comenzar a desintegrarse debido a las fuerzas de marea que genera el objeto principal‘, y fue postulado de forma teórica por el astrónomo francés Édouard Roche en 1848

Explicado de otra manera, al pasar el límite de Roche el objeto cautivo se rompe debido a la diferencia de gravedad entre la parte más alejada y la parte más cercana al objeto mayor. Es el mismo efecto que provoca las mareas, y hace que, tras superar ese límite de no retorno, el objeto atrapado se rompa por no ser capaz de mantener su integridad por autogravedad.

Un ejemplo muy conocido del límite de Roche son los anillos de Saturno: sea porque un objeto entró en ese límite y se rompió, sea porque resultó imposible la acreción de todo ese material para formar un satélite natural, los anillos de Saturno se corresponden con ese efecto.

Un ejemplo de límite de Roche:
los anillos de Saturno.

El límite de Roche de Melancolía.

Vamos a calcular el límite de Roche de Melancolía-Tierra a ojo de buen cubero.

Según Wikipedia, el límite de Roche se calcula, para dos cuerpos rígidos, de la siguiente manera:

Donde R es el radio del cuerpo mayor, ρM la densidad del cuerpo mayor y ρm la densidad del menor.

Medido con una regla cutre en mi monitor, y sabiendo que la Tierra tiene un radio de 6.376 kilómetros, podemos estimar que Melancolía tiene unos 28.575 kilómetros de radio (una relación de 4,4 aproximadamente). Lo que da un límite de Roche de 1,26 radios de Melancolía (atendiendo a la fórmula que ofrece la Wikipedia), siempre y cuando supongamos que ambos tienen la misma densidad. Eso da un límite de Roche de 36.000 km.

Si no he entendido mal la fórmula, eso quiere decir que el límite de Roche de Melancolía se encuentra a 7425 km. sobre la superficie del planeta. Eso es algo más del radio terrestre. Por lo tanto, y si el cálculo está bien hecho, la Tierra en este punto ya tendría que estar partida en pedazos:

La densidad relativa.

El cálculo anterior está hecho suponiendo que ambos planetas tienen la misma densidad. Pero tanto la Tierra como Melancolía son rocosos (de ahí el espectacular encontronazo entre ambos, tal y como se presenta en la película), y podemos presuponer que Melancolía es más denso que la Tierra. Mucho más denso, de hecho. Y dado que el resultado anterior está calculado para el caso de que ambos planetas tuvieran la misma densidad, parece evidente que el límite de Roche de Melancolía debería estar aún más lejos (es lo que deduzco de la fórmula, que añade la relación ρM/ρm). Por lo que nuestra querida Tierra no hubiera siquiera alcanzado el lugar que ocupa en la anterior ilustración sin romperse.

Volviendo a la película que nos ocupa, lo único que podría mantener la integridad de la Tierra al traspasar el límite de Roche sería la resistencia del material terrestre por autogravedad, algo bastante dudoso en este caso. Para cuando llegara el momento final la deformación del planeta Tierra ya debería ser montruosa, y supongo que, dada la intensidad del campo gravitatorio del planeta secuestrador en este punto, los objetos caerían hacia arriba, las mareas inundarían los continentes y las placas tectónicas se desplazarían con violencia, por no hablar del comportamiento de la atmósfera, las perturbaciones en la rotación y la traslación terrestre mucho antes del impacto (en las fases tempranas de acercamiento), o la alteración de la órbita lunar, todo ello con consecuencias inesperadas e incompatibles con el restante desarrollo de la película. Dudo que en esas condiciones ningún ser humano estuviera vivo para ver el espectáculo.

Pero… Melancolía, probablemente, no debería ser rocoso.

El planeta del Sistema Solar más parecido a Melancolía es Urano, que tiene un radio de 25.559 km (recordemos que establecimos el de Melancolía en 28.575 km). Una imagen comparativa entre Urano y la Tierra nos permite ver la similitud del tamaño relativo:

Fuente de la imagen.

El problema es que Urano es mucho menos denso que la Tierra. La densidad terrestre es de 5.5 g/cm³, mientras que la de Urano es de 1.29 g/cm³. Es decir, que la Tierra Urano podría flotar en Urano la Tierra. En realidad, si la Tierra chocara con Urano sería como si cayera en una granizada: la atmósfera de Urano tiene un grosor de 5.000 km de gas, le sigue un manto de hielo y amoníaco de 15.000 km de radio y finalmente termina en un núcleo rocoso de otros 5.000 km.

Pero, según reza la Wikipedia, para choques en los cuales la desidad del cuerpo cautivo es mayor que la del cuerpo secuestrador el límite de Roche parece caer dentro del planeta mayor: si el cuerpo central mayor posee una densidad inferior a la mitad del cuerpo orbitante, el límite de Roche se alcanza por debajo del radio del planeta y el satélite no puede alcanzar tal límite.

Lo que parece ser el caso. Por lo tanto, y suponiendo que fuera físicamente imposible que Melancolía pudiera ser rocoso (lo que excede mis conocimientos), tampoco podría haber un impacto holywoodiense Melancolía-Tierra. Más bien ésta sería engullida por la gigantesca granizada de hielo y amoníaco sin que pudiéramos disfrutar del espectáculo (caso de escapar a tiempo).

Epílogo.

Ya sé que el objetivo de la película Melancolía no es darnos una lección de mecánica celeste, pero siempre resulta entretenido analizar esos detalles para aprender un poco. Además, es cierto que a veces se echa de menos algo más de rigor teórico en el cine: si los efectos especiales pretenden ser realistas, deberían serlo hasta sus últimas consecuencias.

El cálculo del límite de Roche de Melancolía ha sido supervisados por E., toda una doctora en física teórica, a la que le agradezco la ayuda. Si está mal hecho ha sido culpa mía, pues no le presenté todos los datos, y mi formación científica es bastante superficial. En ese caso, el lector/a puede corregirlos en los comentarios.

Un debate sobre este mismo tema que incluye cuestiones como la velocidad de los cuerpos y el tiempo necesario para la ruptura del cuerpo menor se puede encontrar en este enlace.

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13 Comentarios

  1. Xuiz e parte said,

    Marzo 20, 2012 ás 12:33

    O que non me queda nada claro, é a afirmación de que Melancolia é mais grande que a Terra.
    Que facemos coa perspectiva, por exemplo si miro de noite para a lua ate o meu dedo parece mais grande que a lua.

    • iesounonies said,

      Marzo 20, 2012 ás 13:05

      Na imaxe mostrada óllase claramente que M. é máis grande. De feito, pódese observar a sombra da T. na superficie de M.

  2. a nai do troiano said,

    Marzo 20, 2012 ás 22:54

    Muy bonito el artículo, y la investigación… Es bastante divertido, dedicarse a analizar estas derivaciones “científicas” de las películas.

    Yo tampoco sé si puede haber cuerpos rocosos tan grandes, pero podrías bucear en las páginas de bases de datos de todos los exoplanetas encontrados hasta ahora (http://exoplanets.org/index.html http://exoplanetarchive.ipac.caltech.edu/cgi-bin/ExoTables/nph-exotbls ) y tratar de averiguarlo. Por lo que vi llaman super-tierras a planetas rocosos de masa hasta unas 10 masas terrestres. Parece que con más masivos no hay. La razón que se suele dar es que con mucha masa la gravedad del planeta es capaz de mantener atrapados a los gases ligeros (hidrógeno y helio) que es lo que forman, en su mayoría, las atmósferas de los gigantes gaseosos. Quiero decir, que si eres un planeta de masa grande lo normal es que estés rodeado de una región gaseosa muy grande (aunque tu núcleo rocoso pueda también ser grande… De hecho, parece que el de Júpiter tiene un radio de más del doble que el de la Tierra). En resumen: estoy de acuerdo contigo en que planetas puramente rocosos tan grandes no parecen probables.

    Lo que no entiendo muy bien es por qué dices que “podemos presuponer que Melancolía es más denso que la Tierra. Mucho más denso, de hecho”. Podría estar formado por el mismo tipo de materiales que la Tierra y tener por tanto una densidad semejante a la nuestra.

    Y otra cosilla: “La densidad terrestre es de 5.5 g/cm³, mientras que la de Urano es de 1.29 g/cm³. Es decir, que la Tierra podría flotar en Urano”. Vaya, sería Urano el que flotaría en la Tierra, puesto que es el objeto menos denso! Supongo que por “flotar” te refeririás má bien a “caer suavemente” debido a la resistencia del fluído que sería Urano (como una pluma cayendo en el aire o algún objeto cayendo en agua, o como un avión “flota en el cielo”).

    Ya me dan ganas de ver la película, a pesar de ser de ese pesado de von Trier…

  3. iesounonies said,

    Marzo 20, 2012 ás 23:33

    Gracias! Corregido lo de la flotabilidad.

    Respecto a la densidad de Melancolía: entiendo que, siendo el mismo material (cosa que es mucho suponer) al ser mayor la presión de las capas inferiores debido a su volumen su densidad será también mayor. Pero vamos, eso es una ocurrencia algo peregrina por mi parte.

    Le película decepciona un poco. De von Trier te aconsejo mejor Dogville: si aguantas la primera media hora verás una excepcional disección de la lamentable condición humana.

    • a nai do troiano said,

      Marzo 21, 2012 ás 22:40

      No es tan peregrina, por presión la densidad en el centro puede ser mayor, mientras los materiales tengan margen para “apretarse más”. Pero un aumento grande de presión lo que hará por ejemplo es convertir el hierro sólido del núcleo en líquido… Aunque imagino que a la escala global del planeta, si la composición química es parecida la densidad también lo será.

      Mira lo que encontré por ahí:

      The centre of the Sun is only about 14 times the density of lead, so Jupiter’s core density is not necessarily astronomical.

      The Earth’s core density is 13×103 kg m-3.
      The Sun’s core density is about 1.5×105 kg m-3.

      Jupiter’s density, I’m guessing is somewhere between those two, but I’m afraid I don’t know the actual figure.

  4. Xuiz e parte said,

    Marzo 21, 2012 ás 14:33

    Entendo que según a tua teoría e a vista de esta foto:

    http://oceanoestelar.blogspot.com.es/2012/01/los-dias-del-gran-sol.html

    A terra é máis grande que o sol ;)

    • a nai do troiano said,

      Marzo 21, 2012 ás 22:19

      No. En esa foto no se ve “la sombra de el Sol sobre la Tierra”, lo que indica que no está cerca…

      • iesounonies said,

        Marzo 21, 2012 ás 22:26

        Claro, ‘Xuiz e parte’. Debes interpretar o debuxo do seguinte xeito: a T. está ao carón de M., no mesmo plano vertical (tan cerca como a Terra de Urano, no debuxo de máis abaixo).

        Observa a secuencia seguinte do impacto:

        secuencia seguinte

  5. Xuiz e parte said,

    Marzo 22, 2012 ás 01:38

    O que interpreto na imaxe, é que o sol está fora da imaxe pola parte esquerda, e as sombras que se ven tanto na Terra como en Melancolia corresponden coa zona do planeta que non está iluminado polo sol. Non que sexa a sombra de un planeta sobre o outro.

  6. sobreira said,

    Abril 3, 2012 ás 14:58

    A que non resiste ningunha análise Rochiana é esta película, Another Earth:

    Coa participación de Brit Marling e William Mapother (coñecido para os seguidores de Lost), conta a historia dun planeta especular á terra que de súpeto aparece no ceo. Pouco tema astronómico hai, porque a historia pronto tira para temas tan filosóficos como a Terra xemelga de Putnam ou o marismeño de Davidson, ou o futuro e os mundos paralelos. Con moi pouca distribución no país de orixe, xa me adiantaron que aquí non se vai poder ver. Mágoa, porque é desas para as que paga1 a pena pagar2 a entrada do cine. O trailer polo menos é impactante (e non é só pola música estilo Coldplay). Para mostra, esta fermosa historia do cosmonauta (ruso evidentemente, se non sería astronauta):

    • iesounonies said,

      Abril 3, 2012 ás 15:11

      Teño pendente esa peli. Se queres, teño copia.

      • sobreira said,

        Abril 3, 2012 ás 23:11

        Unha demostración de que non é preciso demasiado presuposto (200k$) para facer cine. Pódenselle culpar de plaxio, pero botando man das ideas clásicas da filosofía, da literatura (Much ado about nothing), da historia (El discurso del rey), da ciencia (In time; Gattaca) ou da política (La dama de hierro; Salvar al soldado Ryan) tamén se fai cine barato. Revisita-los temas leva traballo, pero para iso se paga. E o director ou cineasta que estea libre de culpa, que tire a primeira pedra (salvo W.Allen & al.). Como se a maioría non estivesen baseadas en libros…


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